확률과 판단

일곱 팀 123,145,167,246,257,347,356 중 하나를 같은 확률로 고릅니다. 모든 두 사람의 동시 포함 확률이 1/7이어도 가능한 35개 팀을 균등하게 고른 것은 아닙니다. 팀 123은 1/7, 팀 124는 0입니다.

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8명 중 비어 있지 않은 부분집합 255개를 균등하게 고르면 짝수 크기는 127개다. 공집합을 포함할 때 128 대 128이던 수가 공집합 제거 뒤 127 대 128이 되어 확률은 127/255이다.

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공정한 동전을 독립적으로 네 번 던집니다. HH·TH 중 먼저 나타난 모양을 고르고 둘 다 없으면 보류합니다. HH는 1/4, TH는 5/8, 보류는 1/8입니다. 특정 두 자리에서의 확률과 먼저 승리하는 확률을 구별합니다.

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x²+y²=25 위 정수 좌표 점은12개입니다. 세 점 균등 선택220개 중 직각삼각형은 지름6개×나머지10점=60개, 확률3/11입니다. 빗변이 하나라 중복이 없고 모든 세 점 선택은 삼각형입니다.

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공 두 개를 A/B/C에 독립·균등하게 넣습니다. 빈 상자X는1일 확률2/3,2일 확률1/3입니다. 상자 하나가 빌 확률4/9라도 빈 여부 셋은 독립이 아니어서 B(3,4/9)가 아닙니다. 공의 선택과 상자의 빈 여부를 구별합니다.

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공정한 주사위를 한 번 던져5·6이면10점, 그 밖이면0점을 받습니다. 짝수에서만2점을 공제하고 음수를 허용하면 최종 점수는0,−2,0,−2,10,8로 평균7/3입니다. 매번2점을 빼면4/3, 음수를0으로 바꾸면3입니다.

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X~B(6,p)에서 P(X=0)=P(X=6)이면 (1−p)⁶=p⁶입니다. 두 밑은 0 이상이므로 p=1/2이며 끝값의 확률은 각각 1/64입니다. 관찰 횟수가 둘 다 0이었다는 조건과는 다릅니다.

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P(A)=1/5, P(B)=1/2, P(B|A)=3/4일 때 반대 방향 P(A|B)도 3/4일까요? 교집합은 3/20, 반대 방향은 (3/20)/(1/2)=3/10입니다. A만 1/20, B만 7/20, 둘 다 아닌 경우 9/20까지 더하면 1입니다. 조건으로 남긴 사건이 분모를 바꿉니다.

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θ를 [0°,90°]에서 균등하게 골라 P=(cosθ,sinθ)를 만듭니다. x>1/2는 θ<60°라 확률은 2/3입니다. x의 범위가 [0,1]이어도 x를 균등하게 고른 절차는 아닙니다.

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P(A)=0.4, P(B)=0.5, A∩B=∅입니다. 교집합 확률 0과 두 확률의 곱 0.2가 달라 독립이 아닙니다. 배반과 독립이 함께 성립하는 경우는 적어도 한 사건의 확률이 0일 때입니다. 양의 확률인 현재 사례와 경계를 따로 확인합니다.

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