대응을 한쪽으로 되돌렸다고 두쪽 모두 되돌리는 것은 아니다
f=e^x와 h(y)=ln y(y>0), 0(y≤0)을 실수 전체→실수 전체로 두면 h(f(x))=x입니다. 그러나 f(h(0))=1입니다. 한쪽 합성 성공만으로 역함수라고 판단할 수 없습니다.
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증명과 논리
필요·충분, 귀류, 불변량, 유일성 등 주장 성립의 논리를 확인하고 확장하는 글.
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합이 0이면 각 항이 0이라는 결론에는 부호 조건이 필요하다
실수 x,y에서 (x−1)²+(y−2)²=0이면 (x,y)=(1,2)입니다. 각 항이 0 이상이라는 근거가 필요합니다. 일반적인 합과 복소수 반례에서는 같은 결론을 쓸 수 없습니다.
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등호 조건을 비율로 쓰기 전에 분모가 0인지 확인한다
(a²+b²)(x²+y²)−(ax+by)²=(ay−bx)². 실수 a,b,x,y에서 등호 조건은 ay=bx입니다. a=0,b=2,x=0,y=−3이면 등호가 성립하지만 x/a는 정의되지 않습니다. 비율로 나누기 전에 0을 확인하세요.
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제곱한 부등식에서 최댓값의 부호와 등호를 함께 확인한다
실수 x, y에서 x²+y²=1이면 (3x+4y)²≤25입니다. 최댓값 5는 (x,y)=(3/5,4/5)에서 실제로 갖습니다. 음의 점에서는 −5입니다. 제곱한 식의 등호 조건과 최댓값의 부호를 함께 확인하세요.
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제곱이 실수라는 조건과 양의 실수라는 조건은 다르다
z=2i이면 z²=−4는 실수입니다. z²이 실수라는 조건만으로 z가 실수라고 할 수 없습니다. 그러나 z²이 양의 실수라면 z는 0이 아닌 실수입니다. 한 단어로 가능한 수의 범위가 달라집니다.
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세 입력에서 0이라는 단서는 차수 조건과 함께 읽어야 한다
P(x)=ax²+bx+c에서 P(0)=P(1)=P(2)=0이면 a=b=c=0입니다. 차수 제한을 빼면 x(x−1)(x−2)가 반례입니다. 세 함수값이라는 단서가 처음에 주어진 식의 형태와 어떻게 연결되는지 묻습니다.
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모든 양수에서 성립하는 로그 부등식의 매개변수
모든 양수에서 성립하는 로그 부등식의 매개변수
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ln x≤x−1을 그림 한 장으로 끝내도 될까
ln x≤x−1을 그림 한 장으로 끝내도 될까
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도함수값이 0인 한 점을 허용하면 매개변수의 경계도 달라진다
도함수값이 0인 한 점을 허용하면 매개변수의 경계도 달라진다
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적어도 하나의 c가 존재한다는 말은 하나만 있다는 뜻일까
존재를 보장하는 정리와 모든 해의 개수를 구하는 계산을 구별한다.
