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공을 넣는 선택은 독립인데, 상자가 비는지도 독립일까요?

공 두 개를 A/B/C에 독립·균등하게 넣어요. 빈 상자X는1일 확률2/3,2일 확률1/3입니다. 상자 하나가 빌 확률4/9라도 빈 여부 셋은 독립이 아니어서 B(3,4/9)가 아니에요. 공의 선택과 상자의 빈 여부를 구별해요.

−1과1이 번갈아 나오는 급수는 두 항씩 묶으면0처럼 보여요. 하지만 짝수 번째 부분합과 홀수 번째 부분합은 서로 다른 값에 머물러요. 일부 부분합의 계산과 급수 전체의 수렴을 구별해요.

가상 컵 모형에서 높이만 줄이는 경우와 모든 길이를 줄이는 경우를 비교해요. 세 방향의 길이가 모두 반이면 부피는 원래의 1/8이 돼요. 높이만 반으로 줄인 직기둥형 컵과 어떻게 다른지 살펴봐요.

준선 y=0을 고정하고 초점을 (0,2)에서 (0,4)로 옮기면 x²=4(y−1)이 x²=8(y−2)로 바뀌어요. 꼭짓점의 이동만으로 평행이동이라고 판단할 수 없어요.

무한 범위에서 대칭 적분의 상쇄와 존재하는 기대값을 구별한다; 양쪽 적분의 수렴이 먼저 필요해요.

그레고리력의 윤년 예외를 빠짐없이 세어 400년 동안의 일수를 구해요. 400년의 달력 반복과 28년 뒤에도 항상 같다는 주장을 구별하고, 세기 경계를 지나는 두 해의 달력을 비교해요.

상수가 아니고 모든 계수가0 이상인 다항식은 양수 입력에서 엄격히 증가해요. P(x)=c의 양수 해가 있는지는 c와 상수항 a₀의 크기를 비교해야 해요. 존재하는 경우의 유일성과 해가 없는 경계를 나누어 확인해요.

앞부분 137에 숫자 하나를 붙이는 가상 번호를 만들어요. 4의 배수 여부는 끝 두 자리에서 확인할 수 있어요. 허용된 마지막 숫자를 빠짐없이 찾고, 같은 확률로 고를 때의 비중까지 계산해 봐요.

구간[0,1]에서 양끝값이0이고 내부의 기울기 절댓값이1 이하인 함수를 봐요. 연속성과 내부의 미분가능성을 유지하면 적분값이1/4에 닿지는 못해요. 그래도 그 값에 얼마든지 가까워질 수 있어, 더 작은 공통 상한으로 줄일 수 없는 이유를 확인해요.

가상의 차동 장치에서 두 바퀴 회전수의 평균이 구동축 회전수와 같다고 정해요. 구동축이 양의 방향으로 돌아도, 한 바퀴를 더 빠르게 돌릴 때 다른 바퀴가 반대 방향이 되는 조건을 구해요.