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행렬의 한 칸, 거듭제곱할 때마다 2배가 아니라 2씩 늘어나요

행렬의 거듭제곱은 성분을 각각 거듭제곱하는 계산이 아니에요.

빨강2개와 파랑2개에서 되돌리지 않고 두 번 뽑아요. 첫 공과 둘째 공이 빨강일 확률은 같지만, 첫 결과를 알면 둘째의 조건부확률이 달라져요. 개별 확률의 같음과 독립을 나누어 비교해요.

끝날 때마다 다시 재생하거나 멈추는 가상 음악 장치를 생각해요. 한 번의 길이에 반복 확률을 곱하는 대신, 다시 시작한 뒤에도 같은 규칙이 이어진다는 점을 식에 넣어 평균 재생 시간을 구해요.

x≠0에서는 x²sin(1/x), x=0에서는 0인 함수를 살펴봐요. 0에서 미분가능한지 확인한 뒤, 0에 가까워지는 입력에서 도함수값이 −1과 1이 되는 예를 비교하며 도함수의 연속성을 따로 확인해요.

sin x를 제곱한 함수에서, 2π가 주기라는 사실만으로 가장 작은 주기도 정할 수 있을까요? π만큼 옮긴 값을 비교하고, 더 짧은 양의 주기가 가능한지 살펴봐요.

부분적분의 경계항이 0이어도 나머지 적분은 남는다

1초짜리 종이 시간띠에서 각 발이 닿는 시간은 0.6초로 같아요. 겹친 칸을 빼고 오른발 띠를 세 칸 옮겨, 공중 구간이 0.2초 남는 배치와 빈틈없는 배치를 비교해요.

공정한 동전을 독립적으로 네 번 던집니다. HH·TH 중 먼저 나타난 모양을 고르고 둘 다 없으면 보류해요. HH는 1/4, TH는 5/8, 보류는 1/8입니다. 특정 두 자리에서의 확률과 먼저 승리하는 확률을 구별해요.

1/(x−1)>1/(x+1), x≠±1의 해는 x<−1 또는 x>1입니다. 통분한 2/(x²−1)의 부호를 보면 돼요. (x−1)(x+1)을 곱하기 전에 그 부호가 바뀌는 두 점부터 확인하세요.

(x²−1)/(x−1)과 1/(x−1)은 둘 다 x=1에서 정의되지 않아요. 앞 함수는 2로 수렴하고 뒤 함수만 x=1이 점근선이에요. 분모가 0인 점에서 주변 극한까지 비교하세요.