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같은 다항식에 다시 넣어도 값이 같다면, 어떤 식이 가능할까요?

실수 계수 다항식이 모든 실수 x에서 P(P(x))=P(x)를 만족해요. 출력을 다시 같은 다항식에 넣는 일과 출력을 제곱하는 일을 구별하며, 상수와 비상수의 경우에 가능한 식을 찾아요.

바깥 함수의 한 점 미분계수가0이라는 사실만으로 합성함수의 미분가능성을 정할 수는 없어요. 같은 불연속 안쪽 함수에 두 바깥 함수를 합성해, 출력이 뛰는 경우와 항상0이 되는 경우를 비교해요.

가로와 세로의 한 칸 길이가 다른 직사각 격자를 봐요. 세 교점을 실제 거리로 비교해 정삼각형인지 확인하고, 격자 번호와 실제 길이·넓이를 구별해요. 정사각 격자에서의 결론을 그대로 옮길 수 없는 이유를 살펴봐요.

구간[0,1]에서 연속이고 f(x)=f(1−x)인 함수에 x를 곱해 적분해요. 서로 대칭인 두 위치를 짝지으면, 이 적분이 원래 적분의 절반이 되는 이유를 알 수 있어요. 대칭 조건을 뺐을 때도 같은지 반례와 비교해요.

X가0·2를 절반씩 가지면 Z=X−1은 평균0, 표준편차1입니다. 하지만−1·1만 가지므로 표준정규분포가 아니에요. 평균·표준편차 계산과 원래 분포의 전제를 구별해요.

P(A)=0이면 P(A∩B)=0입니다. 그렇다고 P(B|A)=1/2를 적을 수는 없어요. 0을 곱한 답이 맞아도 조건부확률의 분모0은 남아요.

두 칸 중 한 곳에 숨은 토큰은 찾지 못한 확인 뒤에 반드시 다른 칸으로 이동해요. 두 칸을 번갈아 보는 계획과 같은 칸을 연속 두 번 보는 계획을 비교해, 이동 규칙과 확인 순서가 왜 중요한지 살펴봐요.

처음부터 센 1의 수가 늘 전체의 절반에 가까운 두 0·1 수열을 비교해요. 시작 위치를 자유롭게 골라 같은 길이의 구간을 잘랐을 때도, 그 안의 1의 수가 한 개 이내로 차이 나는지 확인해요.

같은 반지름2 원판이라도 넓이 균등 선택이면 안쪽 반지름1의 확률은1/4입니다. 반지름 거리 r을0~2에서 균등하게 고르면1/2입니다. 그림과 선택 모델을 구별해요.

가상의 저항 회로에서 두 갈래 중간점을 새 저항으로 잇습니다. 새 길이 생겼어도 중간 전압이 같으면 그 길에는 전류가 흐르지 않아요. 전체 전류가 그대로인 이유를 숫자로 확인해요.