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같은 물통을 뒤집으면 배수 시간도 같을까요?

높이 1cm인 원뿔대를 두 방향으로 놓는 교육용 종이모형이에요. 같은 용량·초기 유량에서도 높이별 단면과 유량을 적분하면 전체 배수 시간이 달라져, 정한 마감을 지키는 방향을 고를 수 있어요.

실수 전체에서 미분가능한 함수의 도함수가 정확히 두 점에서0이에요. 원래 함수의 서로 다른 근이 네 개라고 가정하면, 근 사이에 롤의 정리를 적용해 어떤 모순이 생길까요? 근의 최대 개수와 그 개수를 실제로 갖는 예를 함께 확인해요.

쌍곡선 x²/9−y²/16=1의 오른쪽 점은x≥3, 왼쪽 점은x≤−3입니다. 두 가지 사이 최단거리는 꼭짓점(3,0),(−3,0)에서6입니다. 점근선의 교점(0,0)은 곡선 위가 아니에요.

세 기호 가운데 하나가 거의 항상 나와요. 기호마다 비어 있지 않은 이진 부호를 붙이는 조건에서는, 정보량이 작아져도 평균 부호 길이가 왜 같은 만큼 줄지 않는지 살펴봐요.

벡터 분해의 답1과2는 좌표(1,2)가 아니에요. 기준벡터를 다시 곱해 원래(4,−3)이 나오는지 확인해 볼까요?

모든 실수 x에서 sin(x+θ)=sin x가 되려면 θ는 어떤 값이어야 할까요? x=0과 x=π/2를 넣어 얻는 조건을 함께 보고, 덧셈정리로 모든 입력에서 등식이 성립하는지 확인해요.

처음 장치 전체에서의 고장 확률은 줄지만, 그때까지 작동한 장치만 보면 다음 한 시간의 고장 확률은 커지는 모형이에요. 비교 대상을 바꾸면 결론도 바뀌는 이유를 계산해요.

(a+b)·(a−b)=0은 |a|=|b|를 뜻해요. a=(3,4), b=(4,3)에서는 a·b=24입니다. 내적이 0인 대상의 이름을 끝까지 유지해 봐요.

가상 행사에서 같은 수의 물품을 똑같이 나누었어요. 전체 개수가 짝수라는 정보가 인원 수와 개인 몫에 무엇을 보장하는지 계산해요. 짝수 곱의 조건과 두 인수가 모두 짝수라는 주장을 구별해요.

두 합을 빼서 공통 항을 없애는 일과, 곱의 공통 인수를 약분하는 일을 비교해요. 두 곱이 3의 배수여도 남은 인수의 차까지 3의 배수인지 따로 확인해야 하는 이유를 반례로 살펴봐요.